École Nationale Supérieure de
Techniques Avancées

Résumé

L’objectif de ce projet est d’étudier la propagation des ondes dans différents milieux hétérogènes aléatoires. Nous considérons des milieux qui présentent une microstructure aléatoire c'est à dire dont les variations de densité et de module de compressibilité se produisent à une échelle beaucoup plus petite que la longueur d'onde. Plus précisément, nous examinons deux cas de milieux unidimensionnels aléatoires homogénes par morceaux: indépendent et identiquement distribué \textit{i.i.d.} et d'impédance constante. Dans les deux cas , chaque segement [i,i+1], $i \in \mathbb{Z}$ a des coefficients constants strictement positifs tirés aléatoirement indépendament des autres segments suivant des lois de probabilité données. Dans le cas \textit{i.i.d.} , les lois de la densité et du module de compressibilité sont independantes. Dans le cas d'impédance constante, le rapport entre la densité et le module de compressibilité est constante dans tout le milieu. Nous prouvons dans les deux cas qu'en temps fini, la solution peut être approchée par la solution d'une équation à coefficients constants, appelée solution homogénéisée. Nous établissons de plus une estimation de l'erreur en fonction de la taille de la microstructure et du temps de propagation de l'onde. Mais que se passe-t-il sur des temps plus longs ? Sur quel horizon la solution homogénéisée est une bonne approximation de la solution exacte ? C’est ces questions que nous allons étudier ici. Nous avons réalisé des simulations de la propagation des ondes dans des tels milieux et dans les milieux homogéinéisés correspondants sur des temps courts puis de plus en plus longs. Nous avons ainsi calculé les taux de convergence de l'erreur sur différents horizons temporels dans les deux cas afin de determiner jusqu'à quand l'homogéinéisation restait valide. L’étude de ces deux cas permettra de mieux comprendre comment les variations aléatoires des coefficients influencent la propagation des ondes dans des milieux hétérogènes. En obtenant une équation des ondes homogénéisée, nous pourrons simplifier les calculs tout en conservant une bonne approximation du comportement des ondes dans le milieu d’origine. Cette approche est particulièrement utile dans les domaines où les propriétés du matériau ne sont pas parfaitement connues ou sont sujettes à des variations aléatoires.