École Nationale Supérieure de
Techniques Avancées

Résumé

L’étude des phénomènes de concentration à hautes énergies des fonctions propres d’un opérateur (pseudo)différentiel A sur une variété M connaît une popularité croissante depuis le développement d’outils issus de l’analyse micro locale. Les mesures semi classiques sont des mesures de Radon sur l’espace des phases T ∗M correspondant à l’étalement” limite de ces fonctions propres en position et en fréquence. La préoccupation naturelle des analystes et dynamiciens est de caractériser l’ensemble des mesures semi classiques associés à cette séquence de fonctions propres de A (sous les hypothèses d’un spectre ayant un bon comportement). Une interrogation qui nous préoccupera pendant tout ce mémoire est la suivante : toutes les mesures de Radon invariantes par le dynamique du symbole de A sont-elles semi classiques ? Nous proposons dans un premier temps, après avoir défini les objets en jeu, d’étudier le cas jouet de l’oscillateur harmonique unidimensionnel et ses complications en dimension supérieure. Nous proposons ensuite de définir et d’étudier les mesures semi classiques dans un cadre plus général que celui de T ∗X. En particulier nous définirons des mesures semi classiques supportées sur la 2-sphère grâce à la quantification de Berezin Toeplitz. Ceci nous permettra de commencer l’étude de ces mesures dans le cadre du modèle spin-oscillateur. Le système classique sous-jacent étant semi-torique, ses singularités sont beaucoup plus dégénérées que celles de l’oscillateur harmonique. Ceci rendra l’étude de telles mesures plus complexes, nous proposons ici un début d’étude.