École Nationale Supérieure de
Techniques Avancées

Résumé

Après avoir introduit le langage des catégories et faisceaux, on présente quelques résultats de base des espaces de Sobolev sous cet angle. Ces derniers possèdent des propriétés cohomologiques intéressantes lorsque l’on se restreint à une bonne classe d’ouverts Lipschitz. Pour étendre ces propriétés aux ensembles sous-analytiques, Lebeau construit des espaces Y s, qui coïncident avec Hs sur les domaines Lipschitz. La notion de sites vient donner un sens précis à ces affirmations. Après un résultat de dualité dans la catégorie dérivée des faisceaux sur les sites sous-analytiques, Y s permet de définir les faisceaux de Sobolev en régularité s < 0. On développe une théorie des faisceaux à valeurs dans des catégories non nécessairement abéliennes pour proposer une manipulation alternative des espaces Y s sans recours aux catégories dérivées. On obtient des faisceaux "à complétion près" qui englobe Y s.