École Nationale Supérieure de
Techniques Avancées

Résumé

L’objectif de ce projet est d’´etudier l’´ equation des ondes dans diff´ erents milieux h´ et´ erog` enes. Tout d’abord, nous commencerons par ´etudier le cas d’un milieu avec une microstructure p´ eriodique. On montrera alors que dans le cadre d’un tel milieu, l’´ equation des ondes est bien pos´ ee. Puis, nous effectuerons un d´eveloppement formel afin de trouver une ´ equation homog` ene approchant l’´ equation des ondes en milieu h´et´erog`ene avant de d´ emontrer dans un deuxi` eme temps la convergence de la solution h´et´erog`ene vers la solution homog` ene. Nous avons ensuite impl´ ement´ e num´ eriquement la solution homog` ene et la solution h´ et´erog` ene, d’abord `a temps court puis `a temps long. Dans ce dernier cas, la solution homog` ene n’approxime pas de mani` ere suffisamment satisfaisante la solution h´ et´ erog` ene. Suite `a cela, nous avons alors repris le calcul formel afin de d´ eterminer une approximation plus fine que nous avons `a son tour impl´ement´e. Il est maintenant temps d’aborder les questions quantitatives des erreurs entre les solutions. Nous avons ainsi prouv´ e une estimation de l’erreur pour les deux solutions homog´en´eis´ees et trac´e num´eriquement les erreurs. Enfin, nous avons montr´ e la convergence de la solution et nous avons adapt´e notre algorithme au cas d’une microstructure al´ eatoire stationnaire.