École Nationale Supérieure de
Techniques Avancées

Résumé

Ce rapport porte sur l’approximation numérique du Laplacien fractionnaire via la technique d’extension de Caffarelli–Silvestre. Dans une première partie, nous étudions le cas d’un ordre fractionnaire constant. À l’aide de la bibliothèque d’éléments finis NGSolve, nous utilisons la méthode de Galerkin et validons la méthode à travers des tests en une et deux dimensions. Nous abordons ensuite le cas d’un ordre fractionnaire variable, particulièrement adapté au débruitage d’images. Dans ce cadre, l’intensité de la régularisation s’adapte localement aux caractéristiques de l’image. Pour capturer efficacement ce comportement local, nous développons une méthode d’éléments finis adaptative (AFEM) basée sur une estimation a posteriori de l’erreur. Le raffinement est effectué sur le domaine 2D de l’image, puis le maillage 3D étendu est reconstruit en conséquence. Cette stratégie adaptative permet des reconstructions précises et efficaces, en préservant les contours tout en lissant les zones homogènes.