École Nationale Supérieure de
Techniques Avancées

Résumé

On étudie la propagation d’ondes en temps long dans un milieu à micro-structure aléatoire pour tenter de répondre aux problématiques suivantes : jusqu’à quel horizon temporel l’espérance de la solution est une bonne approximation de la solution homogénéisée ? Peut-on quantifier les fluctuations de la solution au cours du temps ? Peut-on caractériser la dispersion des paquets d’onde au cours du temps ? Nous commencerons par rappeler des résultats de théorie de l’homogénéisation de l’équation des ondes. Nous proposerons ensuite un théorème permettant de quantifier un temps jusqu’au quel l’homogénéisation est valable, dans le cas où l’aspect aléatoire du milieu est contrôlé par des variables i.i.d. La démonstration de ce théorème se fera en plusieurs étapes. Tout d’abord, afin d’exploiter le caractère i.i.d. de notre problème, nous introduirons le calcul de Glauber, et mènerons une étude de plusieurs de ses propriétés. Nous introduiront ensuite des correcteurs massiques, sur lesquels nous pourront réaliser des estimations grâce au calcul de Glauber, et à des résultats de régularité moyennée qui ne seront pas remontrés ici. Le théorème d’estimation d’erreur découlera finalement de ces estimations sur les correcteurs. Nous dirons également un mot sur le caractère ballistique des ondes, c’est `a dire le fait que pour tout p, les moments d’ordre p suivent, à constante près, t^p au fil du temps. Enfin, nous illustrerons numériquement ces problématiques théoriques. Pour cela, nous avons développé un code 2D en C++ à l’aide de la bibliothèque d’éléments finis Xlife++. Nous avons également travaillé en 1D à partir du code matlab de Laure Giovangigli.