École Nationale Supérieure de
Techniques Avancées

Résumé

La thèse a pour objet la modélisation et la simulation numérique de la propagation d'ondes dans un fluide en écoulement uniforme ou fortement cisaillé. Nous retiendrons l'équation de Galbrun comme modèle mathématique linéarisé pour décrire ce phénomène. Cette équation, dont l'inconnue est le déplacement lagrangien, ne se prête pas à une étude mathématique directe en raison d'un défaut d'ellipticité. La première partie traite le cas d'un écoulement subsonique uniforme. Nous présentons dans un premier temps une méthode de régularisation pour pallier le défaut de coercivité de la ``partie spatiale'' de l'équation de Galbrun et, dans un deuxième temps, une méthode de résolution numérique stable. En outre, nous calculons à l'aide de la technique de Cagniard-de Hoop, le tenseur de Green de l'équation de Galbrun. Ce tenseur admet une singularité non-intégrable en espace et en temps. La deuxième partie est consacrée à l'extension de ce qui précède au cas des écoulements brutalement cisaillés. Nous montrons par l'analyse de Kreiss que le problème limite (lorsque l'épaisseur de la couche de cisaillement tend vers 0) est fortement mal posé. Pour contourner cette difficulté, nous proposons alors deux approches fondamentalement différentes. La première est analytique~:~nous utilisons d'une part la méthode de Cagniard-de Hoop pour calculer analytiquement la solution fondamentale du problème et d'autre part la théorie des ultradistributions pour lui donner un sens mathématique. La deuxième approche repose sur la conception d'un nouveau modèle. Nous montrons comment, à partir de techniques asymptotiques de type "couche limite", on peut construire de nouvelles conditions de transmission conduisant à un problème bien posé et rendant compte du phénomène d'instabilité de Kelvin-Helmholtz.