École Nationale Supérieure de
Techniques Avancées

Résumé

La première partie de ce mémoire est consacrée à la résolution numérique du problème de Poisson avec conditions aux limites de Dirichlet dans un domaine prismatique ou axisymétrique, possédant une arête rentrante sur sa frontière. Nous présentons la Méthode de Fourier et du Complément Singulier consistant à combiner un développement en série (de Fourier) dans la direction parallèle à l'arête et la Méthode du Complément Singulier pour les problèmes bidimensionnels associés aux modes (de Fourier). L'analyse de la MFCS conduit à une vitesse de convergence optimale en O(h) lorsqu'on utilise les éléments finis de Lagrange P1 pour la discrétisation. La méthode ne requiert aucun raffinement de maillage au voisinage de la singularité. Nous nous intéressons ensuite au calcul de la densité de charge à la pointe d'une électrode lorsque celle-ci présente un faible rayon de courbureque nous abordons par la résolution du problème électrostatique. La relation entre le rayon de courbure et le champ électrique à la surface de la pointe est décrit par la loi empirique de Peek. Toutefois, celle-ci n'est valable que pour des électrodes minces à géométrie cylindriques ou sphériques. On justifie mathématiquement cette loi et on l'étend à d'autres géométries. A l'aide des développements asymptotiques multi-échelles, on établit explicitement le comportement de la densité de charge pour des géométries coincidant avec un cône à l'infini. Enfin, nous illustrons ce comportement asymptotique par des expériences numériques réalisées en dimension deux, et en dimension trois, pour des domaines axisymétriques. Les résultats sont comparés à ceux obtenue par une méthode intégrale.