École Nationale Supérieure de
Techniques Avancées

Résumé

Le stage a eu lieu au département d’Ingénierie Mathématique de l’université de Bristol. Il a consisté en l’étude d’un système en boucle fermée avec hystérésis et retard. Ce type de systèmes fait partie d’une branche très récemment abordée des systèmes d’équations continues par morceaux. Dans la première partie, j’ai étudié un système linéaire continu par morceaux, modélisant un oscillateur contrôlé en boucle fermée par un relais avec hystérésis. Dans la deuxième partie, au même système il a été ajouté un retard sur la ligne de rétroaction. Ce système avait été abordé dans une thèse en 1991, sans pourtant rentrer dans les détails. Vue l’utilité que ce modèle peut présenter pour la compréhension des systèmes commandés a distance, une analyse plus approfondie semblait nécessaire. Dans le travail qui suit, je propose une analyse théorique du système. Grâce à la structure particulière du système sans retard, je montre que le comportement est équivalent à celui d’un système planaire. Ceci permet de simplifier l’analyse et de tracer un cadre complet des attracteurs dans l’espace des paramètres. Par contre, le système avec retard se révèle beaucoup plus complexe. Pour des valeurs petites du retard, rien ne change dans le système, qui reste équivalent à celui sans retard. Pour des retards proches de la demi-période, le système présent des trajectoires chaotiques. L’existence d’un attracteur chaotique est pourtant soumis à l’existence d’un ensemble invariant, et à l’absence d’attracteurs stables dans cet ensemble. Une analyse détaillée du mécanisme générant les ensembles chaotiques est développée. Enfin, un exemple pratique est analysé, en identifiant différentes régions significatives dans l’espace des paramètres.