École Nationale Supérieure de
Techniques Avancées

Résumé

Nous présentons dans ce rapport quelques résultats de généricité récents sur la contrôlabilité entre états stationnaires par des contrôles ne dépendant que du temps et ce, pour l’équation de Schrödinger en dimension 3. Par ailleurs, nous présentons une piste de recherche pour ce même problème en dimension 2. On regroupe dans le chapitre 1 l’ensemble des outils nécessaires. On y introduit en particulier la notion de différentiation de forme et on présente quelques résultats classiques sur ce sujet. On montre ensuite dans le chapitre 2 que les valeurs propres du Laplacien de Neumann sont génériquement simples pour des domaines de Rn, n ≥ 2. Ce résultat n’est pas utilisé dans la suite du rapport, mais il intervient dans d’autres problèmes de contrôle dont le Laplacien de Neumann est l’opérateur d’évolution. Dans les chapitres 3 et 4, on étudie la généricité par rapport au domaine de la non contrôlabilité entre états stationnaires avec des techniques de différentiation de forme. La question a été traitée en détail au voisinage d’un domaine parallélépipédique 3D. Un résultat de Haraux et Jaffard permet d’énoncer des conditions sur un ouvert de R2 ou R3 pour que l’équation de Schrödinger soit contrôlable entre états stationnaires. Cette condition implique les valeurs propres du Laplacien sur ainsi qu’une condition de projection. Grâce à la formule de Weyl, on en déduit que, lorsque est un ouvert de R3, le système n’est pas contrôlable entre états stationnaires et lorsque est un ouvert de R2, le système est contrôlable entre états stationnaires si la condition de projection est satisfaite. La non contrôlabilité ainsi obtenue en dimension 3 est plus forte que la non contrôlabilité générique qu’on obtenait au chapitre 3, au voisinage de domaines parallélépipédiques. Concernant le cas 2D, intuitivement, il semble que la condition de projection soit générique par rapport à l’ouvert, cependant, la preuve n’est pas triviale. Dans le chapitre 4, on présente une stratégie d’attaque définie par Chitour, Coron et Garavello pour un problème similaire. En particulier, on insiste sur les particularités techniques du problème présent et on suggère une piste technique qui repose essentiellement sur une représentation intégrale des solutions de l’équation de Helmoltz. Ce chapitre n’est pas achevé, mais l’outil principal qui est la théorie du potentiel ainsi que quelques calculs formels y sont présentés.