École Nationale Supérieure de
Techniques Avancées

Résumé

Grâce aux nombreux efforts consentis depuis une vingtaine d’années, les connaissances théoriques et les méthodes numériques relatives à la mécanique des fluides ont connu un extraordinaire développement. Aujourd’hui, les équations de Navier-Stokes, qui régissent le mouvement des fluides dans l’approximation des milieux continus, sont bien connues des mathématiciens appliqués. Il existe d’ailleurs à l’heure actuelle de nombreux logiciels utilisés dans l’industrie pour la simulation de ce type de phénomènes. Pourtant, de nombreuses difficultés subsistent, parmi lesquelles on peut citer la description de la turbulence ou encore la gestion des problèmes multifluides. Sur cette dernière thématique, les enjeux sont énormes, et en particulier dans le domaine biomédical puisque une réelle demande existe de la part des médecins et des chirurgiens pour simuler les écoulements biologiques et permettre ainsi l’amélioration des diagnostics et des techniques opératoires. Pratiquement, mon stage se déroule entre le Laboratoire Jacques-Louis Lions de Paris VI-Chevaleret et l’INRIA Rocquencourt, qui a financé ce projet. Le travail réalisé àParis VI porte essentiellement sur la compréhension et le développement d’un solveur multifluide ainsi que sur les méthodes de gestion d’interfaces. Mon implication àl’INRIA possède quant à elle un double objectif. Un objectif scientifique d’une part, puisqu’il s’agit de me familiariser avec les techniques innovantes en terme de génération et d’adaptation de maillage développées au sein du projet GAMMA. Et un objectif humain d’autre part, puisque j’ai pu m’intégrer à l’équipe de recherche et me conformer aux méthodes de travail spécifiques adoptées dans le projet. Dans une première partie, nous rappelons le contexte et les équations modèles adoptées, en précisant les approximations faites dans la modélisation. Nous indiquons également les principaux résultats d’analyse numérique associés qui nous seront utiles pour l’implémentation du solveur. Une seconde partie, plus technique, est consacrée à la description des difficultés rencontrées lors de l’implémentation et aux résultats numériques obtenus sur une batterie de cas tests. Une troisième partie, plus indépendante, rappelle les fondamentaux de l’adaptation de maillage telle quelle est envisagée au sein du projet GAMMA, et montre son influence sur les solutions calculées par notre solveur Stokes. Enfin, une ouverture vers les problèmes bifluides est proposée en dernière partie, avec la description d’un algorithme original permettant de gérer intrinsèquement la topologie de l’interface et d’éviter une rediscrétisation explicite de la frontière à chaque pas de temps.