École Nationale Supérieure de
Techniques Avancées

Résumé

En mode normal de jeu, les instruments de percussion de la famille des gongs et des cymbales sont soumis à de fortes sollicitations qui imposent à ces structures minces un mouvement de grande amplitude (non-linéarité géométrique), siège d'une phénoménologie complexe : dépendance des fréquences avec l'amplitude, sauts, hystérésis, transferts d'énergie entre modes, vibrations chaotiques. Dans le but de raffiner la modélisation de ces comportements, le premier point de ces travaux se concentre sur l'influence d'imperfections géométriques. Le modèle de vibration de plaque circulaire parfaite (von karman), en condition de bord libre, a ainsi été modifié de manière à pouvoir formuler analytiquement les nouveaux termes linéaires et non-linéaires. L'étude s'enrichit d'une analyse détaillée de l'influence de défauts de forme typiques décrivant l'effet drastique d'imperfections d'amplitude très petite sur les caractéristiques vibratoires (fréquences propres et tendances de non-linéarité notamment). Le modèle est confronté à des analyses expérimentales effectuées sur des coques de laboratoire. La comparaison offre d'excellents résultats alors que les études minutieuses de convergence révèlent l'influence d'autres types d'imperfections au sein des coques testées. Le second point a trait à l'étude numérique de la transition vers le chaos, observée lorsqu'une cymbale est excitée harmoniquement avec une force d'amplitude croissante. Les travaux menés ont abouti à la définition d'un schéma numérique conservant l'énergie, adapté à la formulation modale de la dynamique de la plaque imparfaite. Une étude complète des performances d'une large panoplie d'intégrateurs temporels, incluant le schéma développé, a été menée avec succès sur un oscillateur de Duffing~; elle révèle que les états limites trouvés par certains intégrateurs, aux temps longs et pour des régimes très fortement non-linéaires, diffèrent qualitativement de ceux obtenus par les schémas structurellement conservatifs. L'extension au cas à plusieurs degrés de liberté est entamée.