École Nationale Supérieure de
Techniques Avancées

Résumé

L'étude des valeurs propres est fondamentale en théorie des matrices aléatoires. Cet intérêt trouve son origine dans l'étude de problèmes de physique quantique où les valeurs propres de l'opérateur hamiltonien correspondent aux niveaux d'énergie d'une particule. Si l'on considère une projection de rang n-1 d'une matrice hermitienne de rang n, les valeurs propres de la matrice obtenue sont entrelacées avec celles de la matrice originelle (théorème d'entrelacement de Cauchy). On peut alors réitérer l'opération avec une suite de projecteurs que l'on appelle drapeau et étudier la répartition de la suite de valeurs propres obtenue. Sous certaines conditions sur la matrice aléatoire considérée cet ensemble de valeurs propres forme un processus déterminantal. L'intérêt d'avoir une famille de points avec la structure de processus déterminantal est que pour calculer des espérances jointes par exemple, au lieu d'avoir à intégrer une fonction de corrélation, on se retrouve à calculer le déterminant d'un certain opérateur appelé noyau du processus. Les processus déterminantaux facilitent donc énormément certains calculs probabilistes. L'objet de ce stage est de tenter d'observer si lorsque l'on considère plusieurs drapeaux simultanément, l'ensemble des valeurs propres obtenu est encore un processus déterminantal.