École Nationale Supérieure de
Techniques Avancées

Résumé

L’étude des processus browniens semi-stationnaires(BSS) introduits par Barndorff-Nielsen et Schmiegel [1] [2] qui sont des processus stochastiques (pas typiquement des semi-martingales) nous mène à explorer des schémas de discrétisation pour simuler ces types de processus à l’aide de la fonction noyau. Ces processus sont particulièrement d’utilité puisqu’ils ont été utilisés pour étudier les turbulences en physique et dans la finance surtout dans les modèles qui ont pour but de fixer les prix de l’électricité. Ces processus sont intéressants puisqu’on peut en constater des similarités avec les séries temporelles telles que le paramètre de rugosité(roughness parameter) et la volatilité stochastique. Dans ce projet, on se base sur le schéma hybride qui est introduit dans l’article [3] pour discrétiser la représentation intégrale stochastique du processus brownien semi-stationnaire. On se propose de reprendre l’étude théorique de l’erreur quadratique moyenne associée à ce schéma. On constate une réduction considérable de l’erreur quadratique moyenne en utilisant ce schéma correctement. On utilise ce schéma notamment pour calculer le prix de l’option dans le modèle de rough bergomi introduit par [4], et pour estimer le paramètre de rugosité grâce à la COF (change of frequency statistics). On parvient aussi à retrouver la courbe de la volatilité implicite en fonction du strike et de la maturité, et la surface de la volatilité. Ces courbes prennent la forme de smile habituelle. Ce schéma nous garantit une réduction de l’erreur quadratique moyenne aussi que la complexité grâce à la méthode FFT(Fast Fourier Transform)