École Nationale Supérieure de
Techniques Avancées

Résumé

L’étude des milieux quasi-périodiques a connu un regain d’intérêt avec la découverte récente des quasi-cristaux. La notion de quasi-périodicité est bien définie dans la littérature mathématique. Par exemple, une fonction quasi-périodique 1D d’ordre n est la trace d’une fonction périodique de n variables suivant une direction donnée. Les EDPs avec des coefficients quasi-périodiques ont fait l’objet d’un grand nombre d’études théoriques. Cependant, en dehors du contexte de l’homogénéisation, peu de travaux semblent avoir été faits sur la résolution de ces équations. L’objectif du travail présenté dans ce document est d’étendre les travaux de Gérard-Varet et de Masmoudi (2012), ainsi que Blanc, Le Bris et Lions (2015) à des problèmes qui n’entrent pas dans le cadre de l’homogénéisation. Nous considérons l’équation des ondes acoustiques en régime harmonique en 1D et avec des coefficients quasi-périodiques, dans le cas où les coefficients quasi-périodiques correspondent à la trace d’une fonction périodique 2D dans une direction irrationnelle. Nous montrons qu’il est équivalent d’étudier une EDP non elliptique en 2D avec des coefficients périodiques. Cette EDP est résolue à l’aide de la méthode développée par Fliss et Joly (2009), et nous effectuons des simulations pour identifier l’influence des différents paramètres.