École Nationale Supérieure de
Techniques Avancées

Résumé

On revisite le célèbre résultat combinatoire trouvé indépendamment par Logan et Shepp, et Vershik et Kerov en 1977: la convergence asymptotique en probabilité des diagrammes de Young sous la mesure de Plancherel vers une forme limite. Aucun des auteurs ni article publié a posteriori ne fourni une méthodologie pour calculer cette forme limite. Après avoir fait un point sur la théorie de représentation linéaire de groupes, sous-jacente au problème, on se propose de trouver ladite formule limite en introduisant la notion de fonctionnelles d'entropie et d'énergie pour la fonction de bord supérieur des diagrammes. Ensuite, l'on écrit un problème de Riemann--Hilbert pour ces fonctionnelles avec une approche variationnelle. La méthode employée nous mène à considérer les fonctions hypergéométriques de Gauss avant de devoir laisser le problème de manière inconclusive sur une voie toutefois encourageante.