École Nationale Supérieure de
Techniques Avancées

Résumé

Nous étudions dans ce rapport l’équation de réaction-diffusion, à coefficients oscillants. Comme dans tout problème à plusieurs échelles, l’approximation numérique par des méthodes standards de la solution uε requiert des discrétisations trop coûteuses lorsque ε est petit. Nous devons donc adopter d’autres approches. Ainsi nous étudions dans un premier temps l’homogénéisation de cette équation, en se plaçant dans un cadre périodique. Certains de ces résultats seront prouvés de manière rigoureuse, d’autres resteront seulement heuristiques. Nous implémentons ensuite une simulation numérique utilisant la méthode des éléments finis multi-échelles ("MsFEM"). Nous utilisons en partie les résultats de l’homogénéisation de l’équation pour intuiter la meilleure approche. Cette implémentation se fera simplement dans le cas en une dimension pour diminuer les coûts de calcul.