École Nationale Supérieure de
Techniques Avancées

Résumé

La méthode des éléments finis est classiquement utilisée pour résoudre numériquement des équations différentielles aux dérivées partielles. Nous l’employons par exemple en mécanique des milieux continus pour prédire le comportement d’une structure. Cependant, la formulation des équations classiques faisant intervenir des différentielles, elle n’est plus valable au niveau des discontinuités. Le contrôle et la prédiction de fissures devient compliqué. Il faut alors faire appel à des artifices mathématiques (formulation faible, par exemple) qui dépendent du cas à traiter. Dans ce contexte, des modèles non-locaux alternatifs ont été développés. La théorie péridynamique [5], que nous pouvons considérée comme une généralisation de la mécanique classique des milieux continus, fournit par exemple une telle classe de modèles non locaux. La péridynamique a un caractère non local, car elle possède une échelle de longueur interne appelée horizon. Elle repose sur un principe simple : reformuler les équations de la mécanique des milieux continus afin de ne pas n’impliquer de différentielles du champs de déplacement. En utilisant une formulation intégrale, elle devient intéressante pour la modélisation et la simulation des applications de la mécanique des fractures. La théorie péridynamique a été validée expérimentalement, par le biais de l’utilisation de données provenant de plusieurs applications de propagation d’ondes, ainsi que des expériences d’initiation et de propagation de fissures [1]. Deux champs de recherche en péridynamique peuvent être identifiés. Premièrement, l’effet de surface. Il s’agit de la façon dont on modélise les conditions limites dans un modèle non local tel que le notre. Différents façons de considérer les frontières peuvent être traitées. Serge Prudhomme et Patrick Diehl, dans l’article [4] présentent deux méthodes : la méthode de l’horizon variable et la méthode du domaine étendu. Les conditions de Neuman et Dirichlet en 1D sont utilisées aux frontières. Ce rapport étant rendu quelques semaines avant la fin du stage, ce problème des frontières n’a pas encore été traité dans son intégralité. Nous nous concentrerons dans ce document sur un second problème de recherche : comment approcher numériquement les intégrales qui aparaissent dans le problème péridynamique ? Nous proposerons de nouvelles méthodes d’intégration. Une discrétisation typique proposée par Silling en 2000 [6] est la discrétisation nodale dite UEM, qui est une approche par collocation [7]. L’idée est de choisir un espace à dimension finie de solutions candidates et un certain nombre de points dans le domaine (appelés points de collocation), et de sélectionner la solution qui satisfait l’équation donnée aux points de collocation. Cependant, d’autres approches de discrétisation sont disponibles : éléments finis continus et discontinus, quadrature de Gauss [8] et discrétisation spatiale [7] [2]. Le présent document se concentre sur l’approche de collocation qui est largement [3] adoptée dans les simulations péridynamiques actuelles. Nous présenterons le problème dans la section I. En nous intéressant à la méthode par collocation, nous nous restreignons à utiliser les points de collocation comme noeuds d’intégration pour l’approximation de l’intégrale. La méthode classique consiste à appliquer la méthode des trapèzes sur un domaine circulaire. Le problème est que de nombreuses approximation sont réalisées à cause de la forme du domaine. Nous développerons cette méthode dans la section II. Les sections suivantes seront dédiées au développement de nouvelles méthodes d’intégration, que nous avons appelé méthodes à couronnes. Elles offrent de meilleurs résultats que la méthode classique pour un large spectre de fonctions (voir les sections VII et VIII). Puis, les méthodes d’intégration seront appliquées au problème péridynamique en particulier.