École Nationale Supérieure de
Techniques Avancées

Résumé

Dans ce mémoire, nous allons étudier l'existence de solutions pour des problèmes d'optimisation de forme non monotones. Dans un premier temps, on introduira les outils théoriques nécessaire à la compréhension des résultats déjà démontrés, les notions de capacité, γ-convergence puis le principe de concentration-compacité démontré par P.L. Lions. Après cette étude théorique, on présentera le théorème général d'existence dans le cadre monotone de Buttazzo et Dal Maso ainsi que sa preuve, puis on explorera par un exemple récent de Bucur Lamboley Nahon et Prunier les cas d'existence pour des fonctionnelles non monotones. Enn, par une approche numérique faisant intervenir la notion de dérivée de forme, nous aborderons la question d'existence pour une nouvelle fonctionnelle non monotone pour laquelle il est conjecturé que le triangle équilatéral est un miniseur dans la classe des domaines convexes.